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... , f ′(x) = − 2 x3 sin(x) exp ( − 1 x2 ) + cos(x) exp ( − 1 x2 ) = 0 is equivalent to tan(x) = −x 3 2 ... . Die Steigung ist: m = ∆y∆x = 2− 0 1− (− 3) = 2 4 = 1 2 . 15.10. Wie lautet die Gleichung der Tangente ... , f ′(x) = − 2 x3 sin(x) exp ( − 1 x2 ) + cos(x) exp ( − 1 x2 ) = 0 is equivalent to tan(x) = −x 3 2 ... . Die Steigung ist: m = ∆y∆x = 2− 0 1− (− 3) = 2 4 = 1 2 . 15.10. Wie lautet die Gleichung der Tangente ... Serie 0 ...
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... Prof. Dr Tristan Rivière (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n ... ) Lösung. (a) Wir kürzen Zähler und Nenner mit n2 und finden: n2 − n+ 3 n2 + 2 = 1− 1 n + 3 n2 1 + 2 n2 ... Prof. Dr Tristan Rivière (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n ... ) Lösung. (a) Wir kürzen Zähler und Nenner mit n2 und finden: n2 − n+ 3 n2 + 2 = 1− 1 n + 3 n2 1 + 2 n2 ... Sheet 0 ...
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... = 16n 3 + 100n+ 1000000 27n3 + 10920n+ 2020 2/ 3 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Serie 4 ETH ... folgenden Grenzwerte: (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n , (d ... = 16n 3 + 100n+ 1000000 27n3 + 10920n+ 2020 2/ 3 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Serie 4 ETH ... folgenden Grenzwerte: (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n , (d ... Sheet 0 ...
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... rekursiv definiert durch d1 := 3 dn+ 1 := √ 3dn − 2. Untersuchen Sie die Folge (dn)n∈N> 0 auf Konvergenz und ... zeigen: log( 2) = ∞∑ n= 1 (− 1)n− 1 n = 1− 12 + 1 3 − 1 4 ± · · · ( 1) 1. Folgern Sie mit Hilfe des Leibnitz ... rekursiv definiert durch d1 := 3 dn+ 1 := √ 3dn − 2. Untersuchen Sie die Folge (dn)n∈N> 0 auf Konvergenz und ... zeigen: log( 2) = ∞∑ n= 1 (− 1)n− 1 n = 1− 12 + 1 3 − 1 4 ± · · · ( 1) 1. Folgern Sie mit Hilfe des Leibnitz ... Serie 0 ...
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... 6 22 ( 2 3 )n = 32 ( 2 3 ) 2 ∞∑ n= 0 ( 2 3 )n = 23 · 1 1− 2/ 3 = 2, wo wir die Formel für die geometrische ... ) = − 1 3 + 1/ 2 2 + 1/ 2 3 = 1 12 . (b) ∞∑ n= 2 6 · 2n− 2 3n , Lösung. Wir haben: ∞∑ n= 2 6 · 2n− 2 3n = ∞∑ n= 2 ... 6 22 ( 2 3 )n = 32 ( 2 3 ) 2 ∞∑ n= 0 ( 2 3 )n = 23 · 1 1− 2/ 3 = 2, wo wir die Formel für die geometrische ... ) = − 1 3 + 1/ 2 2 + 1/ 2 3 = 1 12 . (b) ∞∑ n= 2 6 · 2n− 2 3n , Lösung. Wir haben: ∞∑ n= 2 6 · 2n− 2 3n = ∞∑ n= 2 ... Serie 0 ...
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... (5n+ 2n)3n+ 1 = 5(n+ 1) 2n + 2( 5n 2n + 1 ) · 3 . Wir wissen, dass n2n → 0.(Siehe: Notizen 7.7.2022 ... 2n = 0. Es folgt, dass lim n→∞ |an+ 1| |an| = 2 3 und nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe ... (5n+ 2n)3n+ 1 = 5(n+ 1) 2n + 2( 5n 2n + 1 ) · 3 . Wir wissen, dass n2n → 0.(Siehe: Notizen 7.7.2022 ... 2n = 0. Es folgt, dass lim n→∞ |an+ 1| |an| = 2 3 und nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe ... Serie 0 ...
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... erhalten wir 2 ∫ ∞ 0 e−t 2dt = 2 ∫ ∞ 0 ev · 12v − 12 dv = ∫ ∞ 0 evv− 1 2 dv = Γ( 1/ 2). Dies beweist, dass ... ), sei I1 = ∫ 2 1 sin(πx) 1 dx, falls x ∈ [ 2, 3), sei I2 = ∫ 3 2 sin(πx) 2 dx, und so weiter. Im ... erhalten wir 2 ∫ ∞ 0 e−t 2dt = 2 ∫ ∞ 0 ev · 12v − 12 dv = ∫ ∞ 0 evv− 1 2 dv = Γ( 1/ 2). Dies beweist, dass ... ), sei I1 = ∫ 2 1 sin(πx) 1 dx, falls x ∈ [ 2, 3), sei I2 = ∫ 3 2 sin(πx) 2 dx, und so weiter. Im ... Serie 0 ...
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... 2 sin(2t)t 2 ] 1 0 − ∫ 1 0 sin ↑ (2t)t ↓ dt = 12 sin( 2)− ( − 12 [cos(2t)t] 1 0 − 1 2 ∫ 1 0 − cos(2t ... ) dt ) = 12 sin( 2)− ( − 12 cos( 2) + [ 1 4 sin(2t) ] 1 0 ) = 12 sin( 2) + 1 2 cos( 2)− 1 4 sin( 2) = 1 4(sin( 2 ... 2 sin(2t)t 2 ] 1 0 − ∫ 1 0 sin ↑ (2t)t ↓ dt = 12 sin( 2)− ( − 12 [cos(2t)t] 1 0 − 1 2 ∫ 1 0 − cos(2t ... ) dt ) = 12 sin( 2)− ( − 12 cos( 2) + [ 1 4 sin(2t) ] 1 0 ) = 12 sin( 2) + 1 2 cos( 2)− 1 4 sin( 2) = 1 4(sin( 2 ... Serie 0 ...
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... surjektiv. (b) 1.) f− 1({ 2}) = 0 2.) f− 1([ 3, 6)) = (− 2, 1] ∪ [ 1, 2) 3.) f− 1([ 12 , 3 2)) = ∅ (c) 1.) Um zu ... } = { 0, 1, 3} und {n ∈ N | 1 ≤ n3 ≤ 100} = { 1, 2, 3, 4}. Da die Definitionsmenge weniger Elemente enthält ... surjektiv. (b) 1.) f− 1({ 2}) = 0 2.) f− 1([ 3, 6)) = (− 2, 1] ∪ [ 1, 2) 3.) f− 1([ 12 , 3 2)) = ∅ (c) 1.) Um zu ... } = { 0, 1, 3} und {n ∈ N | 1 ≤ n3 ≤ 100} = { 1, 2, 3, 4}. Da die Definitionsmenge weniger Elemente enthält ... Sheet 0 ...
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... ∈ [ 2, 3) 3, x ∈ [ 3, 4) gilt es ∫ 4 0 ⌊x⌋dx = ∫ 1 0 ⌊x⌋dx+ ∫ 2 1 ⌊x⌋dx+ ∫ 3 2 ⌊x⌋dx+ ∫ 4 3 ⌊x⌋dx = ∫ 1 0 ... 0 dx+ ∫ 2 1 1 dx+ ∫ 3 2 2 dx+ ∫ 4 3 3 dx (♠)= 0 · ( 1− 0) + 1 · ( 2− 1) + 2 · ( 3− 2) + 3 · (4− 3) = 6 ... ∈ [ 2, 3) 3, x ∈ [ 3, 4) gilt es ∫ 4 0 ⌊x⌋dx = ∫ 1 0 ⌊x⌋dx+ ∫ 2 1 ⌊x⌋dx+ ∫ 3 2 ⌊x⌋dx+ ∫ 4 3 ⌊x⌋dx = ∫ 1 0 ... 0 dx+ ∫ 2 1 1 dx+ ∫ 3 2 2 dx+ ∫ 4 3 3 dx (♠)= 0 · ( 1− 0) + 1 · ( 2− 1) + 2 · ( 3− 2) + 3 · (4− 3) = 6 ... Serie 0 ...
