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... , f ′(x) = − 2 x3 sin(x) exp ( − 1 x2 ) + cos(x) exp ( − 1 x2 ) = 0 is equivalent to tan(x) = −x 3 2 ... . Die Steigung ist: m = ∆y∆x = 2− 0 1− (− 3) = 2 4 = 1 2 . 15.10. Wie lautet die Gleichung der Tangente ... , f ′(x) = − 2 x3 sin(x) exp ( − 1 x2 ) + cos(x) exp ( − 1 x2 ) = 0 is equivalent to tan(x) = −x 3 2 ... . Die Steigung ist: m = ∆y∆x = 2− 0 1− (− 3) = 2 4 = 1 2 . 15.10. Wie lautet die Gleichung der Tangente ... Serie 0 ...
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... Prof. Dr Tristan Rivière (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n ... ) Lösung. (a) Wir kürzen Zähler und Nenner mit n2 und finden: n2 − n+ 3 n2 + 2 = 1− 1 n + 3 n2 1 + 2 n2 ... Prof. Dr Tristan Rivière (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n ... ) Lösung. (a) Wir kürzen Zähler und Nenner mit n2 und finden: n2 − n+ 3 n2 + 2 = 1− 1 n + 3 n2 1 + 2 n2 ... Sheet 0 ...
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... = 16n 3 + 100n+ 1000000 27n3 + 10920n+ 2020 2/ 3 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Serie 4 ETH ... folgenden Grenzwerte: (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n , (d ... = 16n 3 + 100n+ 1000000 27n3 + 10920n+ 2020 2/ 3 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Serie 4 ETH ... folgenden Grenzwerte: (a) limn→+∞ n 2−n+ 3 n2+ 2 , (b) limn→+∞ n 3−n2+ 3 2nn2+5 , (c) limn→+∞ √ n2− 1 n , (d ... Sheet 0 ...
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... rekursiv definiert durch d1 := 3 dn+ 1 := √ 3dn − 2. Untersuchen Sie die Folge (dn)n∈N> 0 auf Konvergenz und ... ( − 1 x2 ) x < 0 oder x > 0 0 x = 0 und ak = ∫ 2(k+ 1)π 2kπ f(x)dx wobei k ≥ 1 eine natürliche Zahl ... rekursiv definiert durch d1 := 3 dn+ 1 := √ 3dn − 2. Untersuchen Sie die Folge (dn)n∈N> 0 auf Konvergenz und ... ( − 1 x2 ) x < 0 oder x > 0 0 x = 0 und ak = ∫ 2(k+ 1)π 2kπ f(x)dx wobei k ≥ 1 eine natürliche Zahl ... Serie 0 ...
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... 6 22 ( 2 3 )n = 32 ( 2 3 ) 2 ∞∑ n= 0 ( 2 3 )n = 23 · 1 1− 2/ 3 = 2, wo wir die Formel für die geometrische ... = 1. Dann gilt 0 ≤ bn ≤ an,∑∞ n= 1 bn = 2, aber ∑∞ n= 1 an ist divergent. (c) Sei ϕ : N∗ → N∗ eine ... 6 22 ( 2 3 )n = 32 ( 2 3 ) 2 ∞∑ n= 0 ( 2 3 )n = 23 · 1 1− 2/ 3 = 2, wo wir die Formel für die geometrische ... = 1. Dann gilt 0 ≤ bn ≤ an,∑∞ n= 1 bn = 2, aber ∑∞ n= 1 an ist divergent. (c) Sei ϕ : N∗ → N∗ eine ... Serie 0 ...
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... (5n+ 2n)3n+ 1 = 5(n+ 1) 2n + 2( 5n 2n + 1 ) · 3 . Wir wissen, dass n2n → 0.(Siehe: Notizen 7.7.2022 ... 2n = 0. Es folgt, dass lim n→∞ |an+ 1| |an| = 2 3 und nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe ... (5n+ 2n)3n+ 1 = 5(n+ 1) 2n + 2( 5n 2n + 1 ) · 3 . Wir wissen, dass n2n → 0.(Siehe: Notizen 7.7.2022 ... 2n = 0. Es folgt, dass lim n→∞ |an+ 1| |an| = 2 3 und nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe ... Serie 0 ...
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... ), sei I1 = ∫ 2 1 sin(πx) 1 dx, falls x ∈ [ 2, 3), sei I2 = ∫ 3 2 sin(πx) 2 dx, und so weiter. Im ... + I2 + · · ·+ In = n∑ k= 1 2(− 1)k kπ = 2 π n∑ k= 1 (− 1)k k . (c) Sei g(x) = x4 sin(2πx− 1), 0 < x ≤ 10 ... ), sei I1 = ∫ 2 1 sin(πx) 1 dx, falls x ∈ [ 2, 3), sei I2 = ∫ 3 2 sin(πx) 2 dx, und so weiter. Im ... + I2 + · · ·+ In = n∑ k= 1 2(− 1)k kπ = 2 π n∑ k= 1 (− 1)k k . (c) Sei g(x) = x4 sin(2πx− 1), 0 < x ≤ 10 ... Serie 0 ...
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... (x) = c(x− 2)(x+ 2). Da sie auch durch ( 0, 4) geht, schliesst man, dass c = − 1. Also hat f die Form f(x ... gilt I(p, 0) = ∫ 1 0 xp dx = x p+ 1 p+ 1 ∣∣∣∣x= 1 x= 0 = 1 p+ 1 ( 2) Somit folgt I(p, q) ( 1)= q p+ 1 I(p+ 1 ... (x− 2)(x+ 2). Da sie auch durch ( 0, 4) geht, schliesst man, dass c = − 1. Also hat f die Form f(x) = −x2 ... gilt I(p, 0) = ∫ 1 0 xp dx = x p+ 1 p+ 1 ∣∣∣∣x= 1 x= 0 = 1 p+ 1 ( 2) Somit folgt I(p, q) ( 1)= q p+ 1 I(p+ 1 ... Serie 0 ...
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... } = { 0, 1, 3} und {n ∈ N | 1 ≤ n3 ≤ 100} = { 1, 2, 3, 4}. Da die Definitionsmenge weniger Elemente enthält ... surjektiv. (b) 1.) f− 1({ 2}) = 0 2.) f− 1([ 3, 6)) = (− 2, 1] ∪ [ 1, 2) 3.) f− 1([12 , 3 2)) = ∅ (c) 1.) Um zu ... } = { 0, 1, 3} und {n ∈ N | 1 ≤ n3 ≤ 100} = { 1, 2, 3, 4}. Da die Definitionsmenge weniger Elemente enthält ... surjektiv. (b) 1.) f− 1({ 2}) = 0 2.) f− 1([ 3, 6)) = (− 2, 1] ∪ [ 1, 2) 3.) f− 1([12 , 3 2)) = ∅ (c) 1.) Um zu ... Sheet 0 ...
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... ), (− 1, 2), ( 3,− 2) und ( 3, 2) (ii) Ein Geradenabschnitt vom Punkt (− 1, 0) zu ( 3, 0) (iii) Ein Kreis mit ... Sheet 0 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Musterlösung 3 ETH Zürich HS 2022 3.1. Komplexe ... ), (− 1, 2), ( 3,− 2) und ( 3, 2) (ii) Ein Geradenabschnitt vom Punkt (− 1, 0) zu ( 3, 0) (iii) Ein Kreis mit ... Sheet 0 D-ITET Prof. Dr Tristan Rivière Analysis 1 Musterlösung 3 ETH Zürich HS 2022 3.1. Komplexe ... Sheet 0 ...
